O NÚMERO DESAPARECIDO - DESAFIO MATEMÁTICO

O número desaparecido (Desafio nº 10)         Nível de dificuldade: 1

Qual o valor do número desaparecido na seguinte sequência?

Resolução:

A sequência apresentada neste desafio é, tal como a sucessão de Fibonacci de que falámos anteriormente no artigo “Coelhos, girassóis e o Código Da Vinci”, uma sequência definida recursivamente, isto é, uma sequência em que cada termo é definido à custa dos anteriores, através de uma fórmula que traduz operações com esses termos.

No caso da sucessão de Fibonacci, cujos primeiros nove termos são 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 … cada termo (a partir do 3º) é obtido através da adição dos dois termos anteriores. Recorrendo à simbologia matemática, representando por a₁ o 1º termo, por a₂ o 2º termo, por a₃ o 3º termo, por a₄ o 4º termo e assim sucessivamente, a sucessão de Fibonacci pode ser apresentada da seguinte forma:

a₁=1               a₂=1                a₃=2               a₄=3                a₅=5               a₆=8    …

Ora, como a partir do 3º termo, cada termo é a soma dos dois anteriores:

- o 3º termo é a soma do 1º termo com o 2º termo

a₃ = a₁ + a₂    

- o 4º termo é a soma do 2º termo com o 3º termo

a₄ = a₂ + a₃    

e assim sucessivamente,   a₅ = a₃ + a₄                   a₆ = a₄ + a_{5     …}

Assim, para definir a sucessão de Fibonacci, não há necessidade de apresentar o valor dos termos, a partir do 3º, bastando apresentar a fórmula que permite calculá-los, ou seja, uma fórmula que represente a soma dos dois termos anteriores. Esta fórmula é

a_n = a_n-1 + a_n-2

onde o termo na posição n (termo a_n) é obtido através da soma do termo a_n-1  (o termo que se encontra na posição n-1, ou seja, o termo imediatamente anterior ao termo a_n) com o termo a_n-2  , que se encontra duas posições antes de a_n. Assim, a sucessão de Fibonacci é definida da seguinte forma

a₁ =1

a₂ =1      

a_n = a_n-1 + a_n-2 ,  n > 2

Na sequência apresentada no desafio, os termos conhecidos são:

a₁=3               a₂=7                a₃=15             a₄=31             a₅=63

desconhecendo-se o valor do 6º termo, a₆ .

Sendo uma sequência definida recursivamente, cada um dos termos terá, obrigatoriamente, uma relação com os termos anteriores. Para tentar descobrir que essa relação, analisemos a diferença entre cada termo e o termo na posição anterior a ele. A tabela seguinte apresenta esses cálculos:

Observando os valores obtidos, verifica-se que o valor de cada uma das diferenças é sempre igual ao valor do termo que foi subtraído, adicionado de uma unidade, portanto:

Está descoberta a relação entre os termos da sucessão!

A partir do 2º termo, cada termo (a_n) desta sucessão é o dobro do termo anterior (a_n-1)  adicionado de 1 unidade. Assim, a sucessão pode ser representada indicando o 1º termo e a fórmula que origina os restantes:

a₁ = 3

a_n = 2 x a_n-1 + 1 ,  n > 1

Para determinar o termo desaparecido, que corresponde à 6ª posição  (a₆), basta calcular o dobro do termo na posição 5 (a₅ = 63) e adicionar-lhe uma unidade.

O número desaparecido é portanto o 127 (127 = 2 x 63 + 1)

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