7 Abril 2014      01:00

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Primos que valem um milhão de dólares

Hoje em dia “valem” 1 milhão de dólares, mas desde tempos longínquos que os números primos têm fascinado o Homem.

O mais antigo indício, um pouco impreciso, do conhecimento dos números primos, datado de cerca de 6500 aC, é um pedaço de osso com entalhes que parecem representar os números primos 11, 13, 17 e 19. Registos existentes provam que diversas culturas como os Babilónios, os Egípcios ou os Persas conheciam os números primos mas é na Grécia Antiga que estes começam a despertar verdadeiro interesse.

Têm sido inúmeros os matemáticos cuja investigação se debruça sobre os números primos, mas esta tarefa reveste-se de grandes dificuldades devido à inexistência de um padrão regular na distribuição dos números primos e consequente inexistência de uma “fórmula” capaz de gerar todos os números primos.

Do ponto de vista da estrutura multiplicativa dos números inteiros, os números primos são os números mais simples tendo, no entanto, a extraordinária capacidade de gerar todos os demais números inteiros.

A razão por que os números primos são os mais simples de todos os números inteiros advém da sua própria definição:

Um número primo é aquele que tem exactamente dois divisores, 1 e ele próprio.

Vejamos os seguintes exemplos:

Será 5 um número primo?

Comecemos por dividir o número 5 por todos os números inteiros inferiores a ele e desta forma determinar os seus divisores.

esq1                                                 

Como podemos verificar, são apenas duas as divisões exactas, isto é, que dão resto igual a zero,   5 : 1     e     5 : 5 , o que indica que os divisores de 5 são os números 1 e 5. Conclui-se então que 5 é um número primo pois é apenas divisível por 1 e por ele próprio.

E 6 , será também um número primo?

Para determinar os seus divisores dividimos o número 6 por todos os números inteiros inferiores a ele.

esq2   

Verificamos que as divisões de 6 por 1, 2 , 3 e 6 são exactas, ou seja, dão resto igual a zero indicando portanto que os divisores de 6 são 1 , 2 , 3 e 6 . Desta forma, de acordo com a definição de número primo, concluímos que 6 não é número primo pois para além de ser divisível por 1 e por ele próprio ainda tem mais divisores.

Usando o mesmo método destes exemplos podemos verificar que os cinco primeiros números primos são 2, 3, 5, 7 e 9 . No entanto à medida que avançamos na busca do próximo número primo o processo é cada vez mais demorado pois o número de divisões a efectuar é cada vez maior.

Numa tentativa de agilizar a procura de novos números primos, o grego Eratóstenes, no século III a.C., apresentou um algoritmo conhecido como  Crivo de Eratóstenes.

A partir de um quadro, semelhante ao que aqui apresentamos, onde estão representados os cem primeiros números naturais, Eratóstenes propôs um procedimento para a determinação de números primos que consiste em eliminar o 1, que não é primo; eliminar todos os múltiplos de 2, à excepção do próprio 2 que é primo, e repetir o processo para os números não eliminados, a começar por 3 que é primo, até já não haver múltiplos para eliminar. Desta forma obtêm-se todos os números primos existentes entre 1 e 100 – apresentados a vermelho no quadro.

quadro

Da observação do quadro verifica-se que à medida que se avança, os números primos estão cada vez mais espaçados, pelo que seria muito pouco prático usar um método semelhante ao anterior para saber se, por exemplo, 711 é número primo.

Um outro processo para testar se um número é primo, mais abreviado que os anteriores, consiste em dividir o número pelos sucessivos números primos inferiores ao número que elevado ao quadrado dá o número que está a ser testado. Usemos então este método para verificar se 711 é um número primo.

Como = 26,66 basta dividir 711 pelos primos inferiores a 26. De facto, a partir daí o divisor passa a ser maior que o quociente e então esse quociente já foi testado, anteriormente como divisor.

esq3

Dividindo 711, sucessivamente por 2, 3, 5, 7, 11 , 13 , 17 e 23 

observamos que 711 é divisível por 1, por ele próprio e também por 3. Não há necessidade de efectuar mais nenhuma divisão pois não é nosso objectivo determinar todos os divisores de 711 mas apenas verificar se é um número primo. Tendo descoberto mais um divisor para além de 1 e do próprio número conclui-se que 711 não é um número primo.

Se continuarmos a lista de números primos iniciada acima, observamos que estes se tornam mais raros à medida que avançamos na sequência numérica, havendo mais primos entre 1 e 100 do que entre 101 e 200. Será que a partir de certa altura não há mais nenhum número primo, isto é, será que existe um número primo que é o maior de todos? A resposta é negativa. Euclides, matemático grego do século III a.C, mostrou que a sucessão dos números primos é infinita. Então após um número primo existirá sempre outro… infelizmente a uma distância ainda maior do que este estava do anterior, o que dificulta a sua descoberta.

Na tentativa de prever a localização precisa do próximo número primo, vários matemáticos têm vindo a propor fórmulas que permitam gerar esses números.

Em 1772, Euler observou que a expressão origina números primos, para valores de entre 0 e 39. 

Gauss, em vez de se centrar na localização dos números primos teve uma ideia inovadora e procurou descobrir a quantidade de primos entre um e um milhão.

Em 1859, George F. B. Riemann foi eleito para a Academia de Ciências de Berlim. Como regra desta instituição, os novos membros deviam fazer um relatório sobre o assunto das suas investigações. O relatório de Riemann, de apenas 8 páginas, com o título “Sobre a quantidade de número primos que não excedem uma dada grandeza” foi , em toda a sua vida, a única publicação que fez sobre os números primos, mas as ideias ali expressas teriam um efeito fundamental no conhecimento dos números primos.

Partindo da abordagem feita por Gauss, Riemann observou que a sequência dos números primos está intimamente relacionada com o comportamento da função

ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ... ,

a chamada função Zeta de Riemann. A “Hipótese de Riemann” afirma que todas as soluções da equação ζ(s) = 0, no plano complexo, descrevem uma linha vertical. Isto já foi verificado para mais de 1.000.000.000 de soluções mas a demonstração de que a hipótese é verdadeira para todas as soluções ainda não foi encontrada.

A “Hipótese de Riemann” é um dos problemas do milénio que aguardam demonstração e fará o seu descobridor 1 milhão de dólares mais rico, oferecidos pelo Clay Mathematics Institute.

Mais informação sobre este prémio em http://www.claymath.org/millenium-problems/riemann-hypothesis

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