3 x 3 Nível de dificuldade: 1

A figura representa 9 fichas (numeradas de 1 a 9) agrupadas em 3 pilhas de 3 fichas cada. A soma dos valores das fichas é igual nas 3 pilhas. Quais os valores das fichas que estão escondidas em cada pilha?

Solução:

As fichas estão distribuídas de forma a que em cada uma das pilhas a soma das fichas seja igual, pelo que cada pilha terá um terço da soma dos valores de todas as fichas. Para não termos que adicionar todos os números de 1 até 9, podemos determinar a soma dos valores das nove fichas recorrendo à fórmula que permite calcular indirectamente a soma dos termos de uma progressão aritmética (ver artigo “A Lenda de Gauss”). Os números de 1 a 9 constituem uma progressão aritmética de razão 1, então a soma de todos os seus termos é (1 + 9) x 9 : 2 = 45. Como este valor está distribuído igualmente pelas três pilhas, 45 : 3 = 15, é o valor total das fichas em cada pilha.

Centremos a nossa atenção na pilha cuja ficha superior é 1. Para que o total das fichas desta pilha seja 15, a soma das duas fichas escondidas terá que ser 14 (ou seja, o total 15 menos 1 que sabemos estar na ficha superior). Para obter total 14 com duas fichas temos duas hipóteses: 6 + 8 ou 5 + 9. Uma vez que todas as fichas têm valores diferentes e a ficha 6 está na 3ª pilha, o total 14 só pode ter sido obtido com as fichas 5 e 9.

Para a pilha cuja ficha superior é 3, o raciocínio é análogo. O total tem que ser 15, como sabemos que uma das fichas tem o valor 3, resta-nos 15 – 3 = 12 para distribuir pelas outras duas fichas. A soma 12 pode obter-se com 5 + 7 ou 4 + 8 ou 3 + 9. Esta última opção não pode ocorrer porque só existe uma ficha com o número 3 e ela está no topo da pilha. Também tem que ser excluída a opção 5 + 7 pois já vimos que o 5 está na 1ª pilha. Resta-nos então o 4 e o 8.

Agora, já sabemos a composição da pilha cuja ficha visível é a 1 (fichas 1, 5 e 9) e a composição da pilha cuja ficha visível é a 3 (fichas 3, 4 e 8), então os números que ainda não foram usados são o 2 e o 7, que estão na pilha do 6.

(Adaptado de Ricotti, S. (2008) Juegos y problemas para construir ideas matemáticas. Ediciones Novedades Educativas)